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HAL CCSD Résumé : This work is devoted to the theoritical research and to the numerical calculus of weak solutions (in the sens of generalized functions) for the non linear transport equation((∂u)/(∂t))(x,y,t)+a(x,y,t)((∂f(u))/(∂x))(x,y,t)+b(x,y,t)((∂g(u))/(∂y))(x,y,t)=0 pour t>0with the initial condition u(x,y,0)=u₀(x,y) where the functions {(x,y,t)→a(x,y,t)} and {(x,y,t)→b(x,y,t)} belong to L^{∞}(R²×R⁺) (but can be discontinuous), the functions f and g are smooth and monotonous, the function {(x,y)→u₀(x,y)} belongs to L^{∞}(R²). We recall the necessary notions on nonlinear generalized functions for introducing their tensorial product. The main results (to determine the weak solutions) are sufficient conditions so that, when a sum of généralized functions (like Heaviside or Dirac products) is associated with zero, each terms of the sum is equal to zero. Thanks to these theoretical results, we can solve the Riemann problem with the help of a solver written like tensorial product of Heaviside functions (or like a sum of tensorial product of Heaviside functions) in order to obtain the weak solutions. These weak solutions allow to develop two dimensional numerical Godunov type schemes. Then, numerical tests are performed which give a comparison between the results obtained by these 2D schemes and the ones of the splitting method. These tests prove that the 2D numerical schemes are as reliable as the ones obtained by splitting. They are also more simple in their expression. Moreover, a more detailed comparative study of the two types of numerical schemes show that the 2D schemes are far less expensive in the linear case as well as in the non linear case. They are stable for the L^{∞} norm, unlike the splitting schemes. At least some perspectives as well as an existence theorem of a strong solution "almost eveywhere" for linear hyberbolic systems are studied.
Nous nous intéressons à la recherche et au calcul numérique de solutions faibles (au sens des fonctions généralisées) de l'équation de transport non linéaire((∂u)/(∂t))(x,y,t)+a(x,y,t)((∂f(u))/(∂x))(x,y,t)+b(x,y,t)((∂g(u))/(∂y))(x,y,t)=0 pour t>0complétée de la condition initiale : u(x,y,0)=u₀(x,y) où les fonctions {(x,y,t)→a(x,y,t)} et {(x,y,t)→b(x,y,t)} appartiennent à L^{∞}(R²×R⁺) (mais peuvent être discontinues), les fonctions f et g sont lisses et monotones, la fonction {(x,y)→u₀(x,y)} appartient à L^{∞}(R²). Des rappels sur les fonctions généralisées nous permettent d'introduire leur produit tensoriel. Un des résultats clés (pour déterminer ultérieurement les solutions faibles cherchées) donne des conditions suffisantes pour que, lorsqu'une somme de fonctions généralisées (de type produit d'Heaviside ou de Dirac) est associée à 0, chacun des termes de la somme est nul. Grâce à ces résultats théoriques, on résout le problème de Riemann 2D à l'aide d'un solveur s'écrivant comme produit tensoriel de fonctions type Heaviside (ou comme somme de produit tensoriel de fonctions type Heaviside) afin d'obtenir les solutions faibles. Ces solutions faibles permettent la construction des schémas numériques de type Godunov 2D. Nous les validons par des test numériques comparant les résultats obtenus par ces schémas 2D et ceux de la méthode du splitting. Ces tests montrent que les schémas numériques 2D sont aussi fiables que ceux par splitting, alors qu'ils sont plus simples dans leur écriture. Une étude comparative plus complète entre les deux types de schémas numériques montre de plus que les schémas 2D sont nettement moins coûteux à la fois dans les cas linéaire et non linéaire et qu'ils sont stables pour la norme L^{∞}, contrairement aux schémas par splitting. Enfin des perspectives ainsi qu'un théoréme d'existence de solutions fortes "presque partout" pour des systèmes hyperboliques linéaires sont abordés.
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